Question

6．有下列五個命題：
①函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{|x-2|}$是偶函數(shù)；
②函數(shù)y=$\sqrt{x-1}$的值域為{y|y≥0}；
③已知集合A={-1，3}，B={x|ax-1=0，a∈R}，若A∪B=A，則a的取值集合為$\left\{{-1，\frac{1}{3}}\right\}$
④關(guān)于x的一元二次方程x²+mx+2m+1=0的一個根大于1，一個根小于1，則實數(shù)m 的取值范圍是$\left\{{m|m＜-\frac{2}{3}}\right\}$；
⑤若f（x）的定義域為R，且在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，a∈R，且a≠$\frac{1}{2}$，則$f（\frac{3}{4}）$與f（a²-a+1）的大小關(guān)系是$f（\frac{3}{4}）＜f（{a^2}-a+1）$．
你認為正確命題的序號為：②④⑤．

Answer 1

分析 ①函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{|x-2|}$的定義域是：{x|x∈R，x≠2}，關(guān)于定義域不對稱，即可判斷出奇偶性；
②由于x≥1時，函數(shù)y=$\sqrt{x-1}$有意義，即可得出函數(shù)的值域；
③由于集合A={-1，3}，B={x|ax-1=0，a∈R}，A∪B=A，因此B可能為∅，{-1}，{3}，分類討論即可判斷出正誤；
④由已知可得，$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4（2m+1）＞0}\\{f（1）=3m+2＜0}\end{array}\right.$，解得m范圍即可判斷出正誤；
⑤由于a≠$\frac{1}{2}$，a²-a+1-$\frac{3}{4}$=$（a-\frac{1}{2}）^{2}$＞0，可得a²-a+1＞$\frac{3}{4}$．利用其單調(diào)性即可判斷出正誤．

解答 解：①函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{|x-2|}$的定義域是：{x|x∈R，x≠2}，關(guān)于定義域不對稱，因此是非奇非偶函數(shù)，不正確；
②由于x≥1時，函數(shù)y=$\sqrt{x-1}$有意義，其函數(shù)的值域為{y|y≥0}，正確；
③∵集合A={-1，3}，B={x|ax-1=0，a∈R}，A∪B=A，∴B可能為∅，{-1}，{3}，當a=0時，方程ax-1=0無解，此時B=∅；當B={-1}時，-a-1=0，解得a=-1；
當B={3}時，3a-1=0，解得a=$\frac{1}{3}$．綜上可得：a的取值集合為$\{0，-1，\frac{1}{3}\}$，因此不正確；
④關(guān)于x的一元二次方程x²+mx+2m+1=0的一個根大于1，一個根小于1，$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4（2m+1）＞0}\\{f（1）=3m+2＜0}\end{array}\right.$，解得$m＜-\frac{2}{3}$，則實數(shù)m 的取值范圍是$\left\{{m|m＜-\frac{2}{3}}\right\}$，正確；
⑤∵a≠$\frac{1}{2}$，a²-a+1-$\frac{3}{4}$=$（a-\frac{1}{2}）^{2}$＞0，∴a²-a+1＞$\frac{3}{4}$．又f（x）的定義域為R，且在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，$f（\frac{3}{4}）＜f（{a^2}-a+1）$，正確．
綜上可得：只有②④⑤正確．
故答案為：②④⑤．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性奇偶性等性質(zhì)、集合的性質(zhì)、一元二次方程的解、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．