Question

7．如圖，直二面角A-BD-C，平面ABD⊥平面BCD，若其中給定 AB=AD=2，∠BAD=90°，∠BDC=60°，BC⊥CD．
（Ⅰ）求AC與平面BCD所成的角；
（Ⅱ）求點(diǎn)A到BC的距離．

Answer 1

分析 （I）取BD的中點(diǎn)M，連接AM，CM，則可得AM⊥平面BCD，故∠ACM為所求角；
（II）計(jì)算AC，BC得出△ABC為等腰三角形，取BC的中點(diǎn)N，則AN⊥BC，利用勾股定理計(jì)算AN．

解答 解：（I）取BD的中點(diǎn)M，連接AM，CM，
∵AB=AD，∴AM⊥BD，
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
∴AM⊥平面BCD，
∴∠ACM為AC與平面BCD所成的角，
∵AB=AD=2，∠BAD=90°，∴AM=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，
∵BC⊥CD，∴CM=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，
∴∠ACM=45°．
（II）∵∠BDC=60°，BC⊥CD，∴∠CBM=30°，
∵BM=CM=$\sqrt{2}$，∴BC=$\sqrt{6}$，
∵AB=2，AC=$\sqrt{2}$AM=2，
∴△ABC是等腰三角形，
取BC的中點(diǎn)N，連接AN，則AN⊥BC，BN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴AN=$\sqrt{A{B}^{2}-B{N}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間距離與空間角的計(jì)算，屬于中檔題．