Question

12．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{2}$，且cosα=$\frac{1}{7}$，cos（α+β）=$-\frac{11}{14}$，求β的值．

Answer 1

分析 由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinα和sin（α+β），代入cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，計(jì)算可得．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{2}$，∴0＜α+β＜π，
又∵cosα=$\frac{1}{7}$，cos（α+β）=$-\frac{11}{14}$，
∴sinα=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，sin（α+β）=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]
=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=$-\frac{11}{14}×\frac{1}{7}+\frac{5\sqrt{3}}{14}×\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜β＜$\frac{π}{2}$，∴β=$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的余弦函數(shù)，涉及同角三角函數(shù)基本關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．