Question

3．（1）求函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-3x+2）的值域；
（2）證明：在定義域內(nèi)，y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-3x+2）與y=x²-3x+2在相同的區(qū)間有著相反的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）配方可知x²-3x+2=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，從而求函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-3x+2）的值域；
（2）由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷證明即可．

解答 解：（1）∵x²-3x+2=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∴x²-3x+2＞0，
∴函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-3x+2）的值域?yàn)镽；
（2）證明：∵y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x在定義域上是減函數(shù)，
且函數(shù)y=x²-3x+2在（2，+∞）上為增函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-3x+2）在（2，+∞）上為減函數(shù)，
函數(shù)y=x²-3x+2在（-∞，1）上為減函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-3x+2）在（-∞，1）上為增函數(shù)；
故在定義域內(nèi)，y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-3x+2）與y=x²-3x+2在相同的區(qū)間有著相反的單調(diào)性．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的判斷與證明，同時(shí)考查了復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用．