Question

7．已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若$\overrightarrow{m}$=（b+a，-c），$\overrightarrow{n}$=（b-a，a+c），且$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$；
（1）求角B的值；
（2）若a=6，b=6$\sqrt{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\overrightarrow m•\overrightarrow n=（b+a）（b-a）-c（a+c）=0$，由余弦定理可得cosB，結(jié)合B的范圍即可得解．
（2）由正弦定理可求sinA，結(jié)合A的范圍可求A，C，由三角形面積公式即可得解．

解答 解：（1）因?yàn)?\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，
所以$\overrightarrow m•\overrightarrow n=（b+a）（b-a）-c（a+c）=0$，
即：a²+c²-b²=-ac，
所以$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{-ac}{2ac}=-\frac{1}{2}$，
因?yàn)?＜B＜π，
所以$B=\frac{2π}{3}$．…（4分）
（2）因?yàn)?\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，
所以$sinA=\frac{asinB}=\frac{{6•\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{6\sqrt{3}}}=\frac{1}{2}$，
因?yàn)?＜A＜π，所以$A=\frac{π}{6}$，$C=π-\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×6×6\sqrt{3}×\frac{1}{2}=9\sqrt{3}$．…（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，平面向量及應(yīng)用，解題時(shí)要注意分析角的范圍，屬于中檔題．