Question

2．已知非負(fù)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足x+y+z=1，則2xy+yz+2zx的最大值為$\frac{4}{7}$．

Answer 1

分析 正數(shù)x，y，z滿(mǎn)足x+y+z=1，可得x=1-（z+y）＞0，解得0＜y+z＜1.2xy+yz+2zx=yz+2[1-（z+y）]（y+z）
≤$\frac{（z+y）^{2}}{4}$-2（z+y）²+2（z+y）=-$\frac{7}{4}$[（y+z）-$\frac{16}{49}$]²+$\frac{4}{7}$，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵正數(shù)x，y，z滿(mǎn)足x+y+z=1，可得x=1-（z+y）＞0，解得0＜y+z＜1．
∴2xy+yz+2zx=yz+2[1-（z+y）]（y+z）
≤$\frac{（z+y）^{2}}{4}$-2（z+y）²+2（z+y）=-$\frac{7}{4}$[（y+z）-$\frac{16}{49}$]²+$\frac{4}{7}$，
當(dāng)x+y=$\frac{16}{49}$時(shí)，取等號(hào)．
∴2xy+yz+2zx的最大值為$\frac{4}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題