Question

13．已知函數(shù)f（x）=2^x|2^x-a|+2^x+1-3，其中a為實(shí)數(shù)．
（1）若a=4，x∈[1，3]，求f（x）的值域；
（2）若f（x）在R上單調(diào)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令2^x=t則t＞0，f（x）=t|t-a|+2t-3=g（t），由條件可得t的范圍，討論t的范圍，去絕對(duì)值，由二次函數(shù)的值域求法，即可得到所求值域；
（2）t=2^x關(guān)于x遞增，由于f（x）=t|t-a|+2t-3=g（t）與f（x）同增減，由f（x）單調(diào)，g（t）也單調(diào)，討論t＞a，g（t）單調(diào)遞增，0＜t≤a時(shí)，g（t）也單調(diào)遞增，由對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，可得a的不等式，解得求交集，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）令2^x=t則t＞0，f（x）=t|t-a|+2t-3=g（t）
∵x∈[1，3]，∴t∈[2，8]，又a=4，
∴f（x）=g（t）=t|t-a|+2t-3=t|t-4|+2t-3=$\left\{\begin{array}{l}{-{t}^{2}+6t-3，2≤t≤4}\\{{t}^{2}-2t-3，4＜t≤8}\end{array}\right.$，
當(dāng)2≤t≤4時(shí)，g（t）=-t²+6t-3=-（t-3）²+6∈[5，6]；
當(dāng)4＜t≤8時(shí)，g（t）=t²-2t-3=（t-1）²-4∈（5，45]．
綜上a=4，x∈[1，3]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇5，45]；
（2）t=2^x關(guān)于x遞增，由于f（x）=t|t-a|+2t-3=g（t）與f（x）同增減，
由f（x）單調(diào)，g（t）也單調(diào)，
g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-{t}^{2}+（a+2）t-3，0＜t≤a}\\{{t}^{2}-（a-2）t-3，t＞a}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{-（t-\frac{a+2}{2}）^{2}+\frac{（a+2）^{2}}{4}-3，0＜t≤a}\\{（t-\frac{a-2}{2}）^{2}-\frac{（a-2）^{2}}{4}-3，t＞a}\end{array}\right.$，
則當(dāng)t＞a時(shí)，g（t）=（t-$\frac{a-2}{2}$）²-$\frac{（a-2）^{2}}{4}$-3單調(diào)遞增，
g（t）的對(duì)稱軸t=$\frac{a-2}{2}$≤a，解得a≥-2，①
0＜t≤a時(shí)，g（t）=-（t-$\frac{a+2}{2}$）²+$\frac{（a+2）^{2}}{4}$-3也要單調(diào)遞增，
g（t）的對(duì)稱軸t=$\frac{a+2}{2}$≥a，解得a≤2．②
則a的范圍是-2≤a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和值域的求法，考查二次函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，以及分類討論的思想方法，屬于中檔題．