Question

11．2014年12月28日開(kāi)始，北京市地鐵按照里程分段計(jì)價(jià)．具體如下表：

乘坐地鐵方案 （不含機(jī)場(chǎng)線(xiàn)）

6公里（含）內(nèi)3元； 6公里至12公里（含）內(nèi)4元； 12公里至22公里（含）內(nèi)5元； 22公里至32公里（含）內(nèi)6元； 32公里以上部分，每增加l元可乘坐20公里（含）．

已知在北京地鐵四號(hào)線(xiàn)上，任意一站到陶然亭站的票價(jià)不超過(guò)5元，現(xiàn)從那些只乘坐四號(hào)線(xiàn)地鐵，且在陶然亭站出站的乘客中隨機(jī)選出120人，他們乘坐地鐵的票價(jià)統(tǒng)計(jì)如圖所示．
（Ⅰ）如果從那些只乘坐四號(hào)線(xiàn)地鐵，且在陶然亭站出站的乘客中任選1人，試估計(jì)此人乘坐地鐵的票價(jià)大于3元的概率為$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）從那些只乘坐四號(hào)線(xiàn)地鐵，且在陶然亭站出站的乘客中隨機(jī)選2人，記X為這2人乘坐地鐵的票價(jià)和，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，并以頻率作為概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由頻率分布直方圖得到此人乘坐地鐵的票價(jià)大于3元的概率為$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）120人中地鐵票價(jià)為3元、4元、5元，X的所有可能取值為6，7，8，9，10．由頻率分布直方圖得到地鐵票價(jià)為3元、4元、5元的頻率，以頻率作為概率求得P（X=6），P（X=7），P（X=8），P（X=9），P（X=10），列出頻率分布表，代入期望公式求得期望．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可得，此人乘坐地鐵的票價(jià)大于3元的概率為$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）X的所有可能取值為6，7，8，9，10．
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，可知120人中地鐵票價(jià)為3元、4元、5元的頻率分別為$\frac{60}{120}$，$\frac{40}{120}$，$\frac{20}{120}$，
即$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{6}$，
以頻率作為概率，知乘客地鐵票價(jià)為3元、4元、5元的概率分別為$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{6}$．
∴P（X=6）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
P（X=7）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$，
P（X=8）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{6}+\frac{1}{6}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{5}{18}$，
P（X=9）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{6}+\frac{1}{6}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$，
P（X=10）=$\frac{1}{6}×\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$．
∴隨機(jī)變量X的分布列為：

X	6	7	8	9	10
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{36}$

∴$E（X）=6×\frac{1}{4}+7×\frac{1}{3}+8×\frac{5}{18}+9×\frac{1}{9}+10×\frac{1}{36}$=$\frac{22}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望的求法，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，是中檔題．