Question

12．對(duì)于函數(shù)f（x），若f（x）=x，則稱x為f（x）的“不動(dòng)點(diǎn)”，若f（f（x））=x，則稱x為f（x）的“穩(wěn)定點(diǎn)”．函數(shù)f（x）的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}
（1）證明：A⊆B；
（2）設(shè)f（x）=x²+ax+b，若A={-1，3}，求集合B．

Answer 1

分析 （1）分A=∅和A≠∅的情況，然后根據(jù)所給“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的定義來證明．
（2）由f（x）=x²+ax+b，A={-1，3}，求出a，b，進(jìn)而由f（f（x））=x構(gòu)造方程，解方程可得B．

解答 證明：（1）?x∈A，即f（x）=x．
則有f[f（x）]=f（x）=x，x∈B
∴A⊆B
（2）∵f（x）=x²+ax+b，若A={-1，3}，
則方程x²+ax+b=x的兩根是-1，3，
即方程x²+（a-1）x+b=0的兩根是-1，3，
即-1+3=-（a-1），-1×3=b，
解得a=-1，b=-3，
故f（x）=x²-x-3，
若f（f（x））=x，
即（x²-x-3）²-（x²-x-3）-3=x，
即x⁴-2x³-6x²+6x+9=0，
即（x+1）（x-3）（x²-3）=0
解得：B={-1，3，-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$}，

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)新概念的理解和運(yùn)用的能力，同時(shí)考查了集合間的關(guān)系和方程根的相關(guān)知識(shí)，解題過程中體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題．