Question

1．若函數(shù)f（x）=log_a（ax²-2x+1）在區(qū)間[2，3]是減函數(shù)，則a取值范圍為（$\frac{3}{4}$，1）．

Answer 1

分析 令t=ax²-2x+1，則t＞0在區(qū)間[2，3]上恒成立．再分0＜a＜1、a＞1兩種情況，分別根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得a的范圍，綜合可得結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=log_a（ax²-2x+1）在區(qū)間[2，3]是減函數(shù)，
令t=ax²-2x+1，則t＞0在區(qū)間[2，3]上恒成立．
①當0＜a＜1時，∵f（x）=g（t）=log_at，故二次函數(shù)t在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)，
再根據(jù)二次函數(shù)t的圖象的對稱軸為x=$\frac{1}{a}$＞1，故有$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}≤2\\{2}^{2}•a-2×2+1＞0\\ 0＜a＜1\end{array}\right.$，求得$\frac{3}{4}$＜a＜1；
②當a＞1時，根據(jù)二次函數(shù)t的圖象的對稱軸為x=$\frac{1}{a}$＜1，故二次函數(shù)t在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)，
函數(shù)f（x）=log_a（ax²-2x+1）在區(qū)間[2，3]是增函數(shù)，不滿足條件．
綜上可得，a取值范圍為（$\frac{3}{4}$，1），
故答案為：（$\frac{3}{4}$，1）．

點評 本題主要考查對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．