Question

11．二次函數(shù)f（x）和g（x）圖象開口大小相同，開口方向相反，已知函數(shù)g（x）=2x²，f（x）圖象的頂點是（1，-7），求：
（1）f（x）的解析式；
（2）f（x）在[-2，2]上的最值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）與g（x）的關(guān)系得出f（x）的二次項系數(shù)為-2，然后使用待定系數(shù)法求出解析式；
（2）根據(jù)f（x）在[-2，2]上的單調(diào)性求出最值．

解答 解：（1）∵g（x）=2x²，二次函數(shù)f（x）和g（x）圖象開口大小相同，開口方向相反，
∴f（x）的二次項系數(shù)為-2，
設(shè)f（x）=-2x²+bx+c，∵f（x）圖象的頂點是（1，-7），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}=1}\\{-2+b+c=-7}\end{array}\right.$，解得b=4，c=-9．
∴f（x）=-2x²+4x-9．
（2）∵f（x）圖象開口向下，對稱軸是x=1，
∴f（x）在[-2，1]上單調(diào)遞增，在（1，2]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=-2時，f（x）取得最小值f（-2）=-25，
當(dāng)x=1時，f（x）取得最大值f（1）=-7．

點評 本題考查了二次函數(shù)解析式的求法及二次函數(shù)的單調(diào)性，確定二次項系數(shù)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．