Question

19．已知點(diǎn)P是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0，xy≠0）上的動點(diǎn)，F(xiàn)₁（-c，0）、F₂（c，0）為橢圓對左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若M是∠F₁PF₂的角平分線上的一點(diǎn)，且F₁M⊥MP，則|OM|的取值范圍是（0，c）．

Answer 1

分析 如圖所示．M是∠F₁PF₂的角平分線上的一點(diǎn)，且F₁M⊥MP，可得點(diǎn)M是底邊F₁N的中點(diǎn)．又點(diǎn)O是線段F₁F₂的中點(diǎn)，|OM|=$\frac{1}{2}{|F}_{2}N|$．|PF₁|=|PN|，可得∠F₂NM＞∠F₂F₁N，可得|F₁F₂|＞|F₂N|，即可得出．

解答 解：如圖所示．
∵M(jìn)是∠F₁PF₂的角平分線上的一點(diǎn)，且F₁M⊥MP，
∴點(diǎn)M是底邊F₁N的中點(diǎn)，
又點(diǎn)O是線段F₁F₂的中點(diǎn)，
∴|OM|=$\frac{1}{2}{|F}_{2}N|$，
∵|PF₁|=|PN|，
∴∠F₂NM＞∠F₂F₁N，
∴|F₁F₂|＞|F₂N|，
∴0＜|OM|$＜\frac{1}{2}×2c$=c．
∴則|OM|的取值范圍是（0，c）．
故答案為：（0，c）．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．