Question

8．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．若橢圓上存在點P，使$\frac{{P{F_1}}}{{2P{F_2}}}=\frac{a}{c}$；則該橢圓離心率的范圍是$[\frac{{-3+\sqrt{17}}}{2}，1）$．

Answer 1

分析 設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，則$\frac{m}{2n}$=$\frac{a}{c}$，m+n=2a，化為m=$\frac{4a}{e+2}$，又a-c≤m≤a+c，化為$1-e≤\frac{4}{e+2}$≤1+e，0＜e＜1．解出即可得出．

解答 解：設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，
則$\frac{m}{2n}$=$\frac{a}{c}$，m+n=2a，
化為m=$\frac{4a}{e+2}$，
又a-c≤m≤a+c，
∴a-c≤$\frac{4a}{e+2}$≤a+c，
化為$1-e≤\frac{4}{e+2}$≤1+e，0＜e＜1．
解得$\frac{\sqrt{17}-3}{2}$≤e＜1，
故答案為：$[\frac{{-3+\sqrt{17}}}{2}，1）$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．