Question

2．從某校高一年級(jí)隨機(jī)抽取n名學(xué)生，獲得了他們?nèi)掌骄�睡眠時(shí)間（單位：小時(shí)）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表：

組號(hào)	分組	頻數(shù)	頻率
1	[5，6）	2	0.04
2	[6，7）		0.20
3	[7，8）	a
4	[8，9）	b
5[來源：Zxxk．Com]	[9，10）		0.16

（I）求n的值；
（Ⅱ）若a=10，補(bǔ)全表中數(shù)據(jù)，并繪制頻率分布直方圖；
（Ⅲ）假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替．若上述數(shù)據(jù)的平均值為7.84，求a，b的值，并由此估計(jì)該校高一學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間不少于8小時(shí)的概率．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)頻率=$\frac{頻數(shù)}{樣本容量}$，求出n的值；
（II）根據(jù)頻率、頻數(shù)與樣本容量的關(guān)系，求出表中空余的數(shù)值，補(bǔ)全數(shù)表，并繪制頻率分布直方圖；
（III）根據(jù)平均數(shù)的定義，列出方程組，求出a、b的值，計(jì)算日平均睡眠時(shí)間不少于8小時(shí)的概率．

解答 解：（I）∵小組[5，6）內(nèi)的頻數(shù)是2，對(duì)應(yīng)的頻率是0.04，
∴樣本容量為n=$\frac{2}{0.04}=50$；（1分）
（II）小組[6，7）內(nèi)的頻數(shù)為50×0.20=10，
小組[7，8）內(nèi)的頻率為$\frac{10}{50}$=0.20，
小組[8，9）內(nèi)的頻數(shù)為50-2-10-10-8=20，
頻率為$\frac{20}{50}$=0.40，
小組[9，10）內(nèi)的頻數(shù)為50×0.16=8，
由此補(bǔ)全數(shù)據(jù)見下表（3分）；

組號(hào)	分組	頻數(shù)	頻率
1	[5，6）	2	0.04
2	[6，7）	10	0.20
3	[7，8）	10	0.20
4	[8，9）	20	0.40
5	[9，10）	8	0.16

繪制頻率分布直方圖見下圖：（5分）

（III）根據(jù)題意，得
$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{50}（2×5.5+10×6.5+a×7.5+b×8.5+8×9.5）=7.84\\ 2+10+a+b+8=50\end{array}\right.$，（7分）
解得$\left\{\begin{array}{l}a=15\\ b=15\end{array}\right.$；（8分）
設(shè)“該校高一學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間不少于8小時(shí)”為事件A，
則P（A）=$\frac{15+8}{50}=\frac{23}{50}=0.46$．（9分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了平均數(shù)與概率的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題目．