Question

14．如果一個實數(shù)數(shù)列{a_n}滿足條件：$a_{n+1}^2-{a_n}=d$（d為常數(shù)，n∈N^*），則稱這一數(shù)列“偽等差數(shù)列”，d稱為“偽公差”．給出下列關(guān)于某個偽等差數(shù)列{a_n}的結(jié)論：①對于任意的首項a₁，若d＜0，則這一數(shù)列必為有窮數(shù)列；②當d＞0，a₁＞0時，這一數(shù)列必為單調(diào)遞增數(shù)列；③這一數(shù)列可以是一個周期數(shù)列；④若這一數(shù)列的首項為1，偽公差為3，$-\sqrt{5}$可以是這一數(shù)列中的一項；n∈N^*⑤若這一數(shù)列的首項為0，第三項為-1，則這一數(shù)列的偽公差可以是$\frac{{\sqrt{5}-3}}{2}$．其中正確的結(jié)論是③④．

Answer 1

分析 通過取a₁=$\frac{1}{2}$、d=-$\frac{1}{4}$、a_n＞0易知①不正確；通過a_n+1=±$\sqrt{{a}_{n}+d}$可知②不正確；不妨取偽公差d=0即得這一數(shù)列是周期數(shù)列故③正確；通過代入計算可知④正確；通過首項及平方≥0即得⑤不正確．

解答 解：①當a₁=$\frac{1}{2}$、d=-$\frac{1}{4}$、a_n＞0時，
依題意，a_n=$\frac{1}{2}$，故不正確；
②當d＞0，a₁＞0時，
∵a_n+1=±$\sqrt{{a}_{n}+d}$，
∴這一數(shù)列不是單調(diào)遞增數(shù)列，故不正確；
③易知當偽公差d=0、a_n=1時，這一數(shù)列是周期數(shù)列，故正確；
④∵a₁=1，d=3，
∴a₂=±$\sqrt{{a}_{1}+d}$=±2，
∴當a₂=2時a₃=±$\sqrt{{a}_{2}+d}$$±\sqrt{5}$，故正確；
⑤∵a₁=0，a₃=-1，
∴${{a}_{2}}^{2}$=a₁+d=d，
∴d≥0，
而$\frac{{\sqrt{5}-3}}{2}$＜0，故不正確；
綜上所述：③④正確，①②⑤不正確，
故答案為：③④．

點評 本題考查考查數(shù)列的性質(zhì)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．