Question

7．列{a_n}、{b_n}均為等比數(shù)列，其前n項和分別為S_n，T_n，若對任意的n∈N^*，都有$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{{3}^{n}+1}{4}$，則$\frac{{a}_{4}}{_{4}}$=（　�。�

• A． 19
• B． 30
• C． 27
• D． 9

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推關系，設出數(shù)列的公比為p，q，根據(jù)條件建立方程關系進行求解即可．

解答 解：當n=1時，$\frac{{S}_{1}}{{T}_{1}}$=$\frac{3+1}{4}$=1，即a₁=b₁，
設{a_n}、{b_n}的公比分別為q，p，
則$\frac{{S}_{2}}{{T}_{2}}$=$\frac{{a}_{1}+{a}_{1}q}{_{1}+_{1}p}$=$\frac{1+q}{1+p}$=$\frac{9+1}{4}$=$\frac{5}{2}$，即2（1+q）=5（1+p），即q=$\frac{3}{2}$+$\frac{5p}{2}$，
當n=3時，$\frac{{S}_{3}}{{T}_{3}}$=$\frac{{a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}}{_{1}+_{1}p+_{1}{p}^{2}}$=$\frac{1+q+{q}^{2}}{1+p+{p}^{2}}$=$\frac{27+1}{4}$=7，
即1+q+q²=7（1+p+p²），
將q=$\frac{3}{2}$+$\frac{5p}{2}$代入1+q+q²=7（1+p+p²）得1+$\frac{3}{2}$+$\frac{5p}{2}$+（$\frac{3}{2}$+$\frac{5p}{2}$）²=7（1+p+p²），
整理得p²-4p+3=0，得p=1或3，
當p=1時，q=$\frac{3}{2}$+$\frac{5p}{2}$=4，此時$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{\frac{{a}_{1}（1-{4}^{n}）}{1-4}}{n_{1}}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3n}$≠$\frac{{3}^{n}+1}{4}$，∴p=1不成立，
當p=3時，q=9，此時$\frac{{a}_{4}}{_{4}}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{3}}{_{1}{p}^{3}}$=$\frac{{9}^{3}}{{3}^{3}}$=27，
綜上$\frac{{a}_{4}}{_{4}}$=27，
故選：C

點評 本題主要考查等比數(shù)列的應用，根據(jù)條件結合數(shù)列的遞推關系建立方程關系是解決本題的關鍵．