Question

12．對(duì)于任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)a，b，定義a*b=λ×$\frac{a}$，其中常數(shù)λ∈（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），“×”時(shí)實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算，若8*3=3，則λ=$\frac{9}{8}$；若a≥b＞0，a*b與b*a都是集合{x|x=$\frac{n}{2}$，n∈Z}中的元素，則a*b=$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出$λ×\frac{8}{3}=3$，由此能求出λ；由a≥b＞0，得0＜$\frac{a}$≤1，由0＜$λ×\frac{a}$≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$，a*b與b*a都是集合{x|x=$\frac{n}{2}$，n∈Z}中的元素，得$λ×\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{a}$=2λ，從而a*b=2λ²，且2＜2λ²＜3，由此能出a*b．

解答 解：∵a*b=λ×$\frac{a}$，其中常數(shù)λ∈（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），“×”時(shí)實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算，8*3=3，
∴$λ×\frac{8}{3}=3$，解得λ=3×$\frac{3}{8}$=$\frac{9}{8}$．
∵a≥b＞0，a*b=λ×$\frac{a}$，其中常數(shù)λ∈（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），“×”時(shí)實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算，
∴0＜$\frac{a}$≤1，0＜$λ×\frac{a}$≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
又a*b與b*a都是集合{x|x=$\frac{n}{2}$，n∈Z}中的元素，
∴$λ×\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a}$=2λ，
∴a*b=2λ²，且2＜2λ²＜3，
∴a*b=$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{9}{8}$，$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查對(duì)新定義a*b的理解，描述法表示集合，元素與集合的關(guān)系，以及不等式的性質(zhì)，是中檔題．