Question

12．已知函數(shù)y=|x|+$\frac{1}{|x-1|}$
（I）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）方程f（x）-m=0有幾個解．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)，分別進行討論，結合函數(shù)的單調(diào)性以及基本不等式進行求解即可求f（x）的最小值；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的條件，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結合即可求方程f（x）-m=0有幾個解．

解答
解：（I）當x＞1時，f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$=x-1+$\frac{1}{x-1}$+1≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+1=2+1=3，當且僅當x-1=$\frac{1}{x-1}$，即x-1=1，x=2時取等號；
當x≤0時，f（x）=-x-$\frac{1}{x-1}$=-x+1-$\frac{1}{x-1}$-1=（1-x）+$\frac{1}{1-x}$-1≥2$\sqrt{（1-x）•\frac{1}{1-x}}$-1=2-1=1，當且僅當1-x=-$\frac{1}{x-1}$，即1-x=1，x=0時取等號；
當0＜x＜1時，f（x）=x-$\frac{1}{x-1}$，則函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
當x=0時，f（0）=1，當x→1時，→+∞，即此時f（x）＞1
綜上函數(shù)的f（x）的最小值是1；
（Ⅱ）由方程f（x）-m=0的f（x）=m，
由（Ⅰ）作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，
則當m＜1時，f（x）=m無解，
當m=1時，f（x）=m有1個解，
當1＜m＜3時，f（x）=m有2個解
當m=3時，f（x）=m有3個解，
當m＞3時，f（x）=m有4個解．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，根據(jù)絕對值的應用進行分類討論，利用數(shù)形結合以及基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．