Question

1．已知直線l_n：y=x-$\sqrt{2n}$與圓C_n：x²+y²=2a_n+n交于不同的兩點(diǎn)A_n，B_n，n∈N^*．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{4}{|{{A_n}{B_n}}|^2}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{n}{{4{a_n}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，在（Ⅱ）的條件下，求證：對任意正整數(shù)n，$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{k+2}{{S}_{k}（{T}_{k}+k+1）}$＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用直線和圓的位置關(guān)系、等比數(shù)列的性質(zhì)，求得 $\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2，可得結(jié)論．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=$\frac{n}{{4a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，用錯位相減法進(jìn)行數(shù)列求和，可得T_n的值．
（Ⅲ）用裂項(xiàng)法花簡條件可得 $\frac{k+2}{{S}_{k}{（T}_{k}+k+1）}$=2（$\frac{1}{{2}^{k}-1}$-$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$），再用放縮法證明不等式，$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{k+2}{{S}_{k}（{T}_{k}+k+1）}$＜2成立．

解答 （Ⅰ）解：圓C_n的圓心到直線l_n的距離 d_n=$\frac{|\sqrt{2n}|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{n}$，半徑r_n=$\sqrt{{2a}_{n}+n}$，
∴a_n+1=$\frac{1}{4}{|{{A_n}{B_n}}|^2}$=${{r}_{n}}^{2}$-${efcrrns_{n}}^{2}$=2a_n，即 $\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2，
又a₁=1，所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴a_n=2^n-1．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，b_n=$\frac{n}{{4a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，∴T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}$•T_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$）=$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{2}{{2}^{4}}$+$\frac{3}{{2}^{5}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+2}}$，
兩式相減，得 $\frac{1}{2}$•T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n}{{2}^{n+2}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{n+2}{{2}^{n+2}}$，
∴T_n=1-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$．
（Ⅲ）證明：因?yàn)閍_n=2^n-1，所以 S_n=$\frac{1{-2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
∴$\frac{k+2}{{S}_{k}{（T}_{k}+k+1）}$=$\frac{k+2}{{（2}^{k}-1）•（1-\frac{k+2}{{2}^{k+1}}+k+1）}$=$\frac{{2}^{k+1}}{{（2}^{k}-1）•{（2}^{k+1}-1）}$=2（$\frac{1}{{2}^{k}-1}$-$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$），
所以，$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{k+2}{{S}_{k}（{T}_{k}+k+1）}$=2[（$\frac{1}{{2}^{1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{2}-1}$）+（ $\frac{1}{{2}^{2}-1}$-$\frac{1}{{2}^{3}-1}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）]
=2（1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）＜2．

點(diǎn)評 本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，用錯位相減法、裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和，用放縮法證明不等式，屬于難題．