Question

11．已知函數(shù)f（x）=lnx-mx+m．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對f（x）求導，對導函數(shù)中m進行分類討論，由此得到單調區(qū)間．
（Ⅱ）借助（Ⅰ），對m進行分類討論，由最大值小于等于0，構造新函數(shù)，轉化為最值問題．

解答 解：（Ⅰ）${f^'}（x）=\frac{1}{x}-m=\frac{1-mx}{x}（x∈（0，+∞））$，
當m≤0時，f′（x）＞0恒成立，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
此時函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞），無單調遞減區(qū)間；
當m＞0時，由${f^'}（x）=\frac{1}{x}-m=\frac{1-mx}{x}＞0$，得$x∈（0，\frac{1}{m}）$，
由${f^'}（x）=\frac{1}{x}-m=\frac{1-mx}{x}＜0$，得$x∈（\frac{1}{m}，+∞）$，
此時f（x）的單調遞增區(qū)間為$x∈（0，\frac{1}{m}）$，單調遞減區(qū)間為$（\frac{1}{m}，+∞）$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：當m≤0時，f（x）在（0，+∞）上遞增，f（1）=0，顯然不成立；
當m＞0時，$f{（x）_{max}}=f（\frac{1}{m}）=ln\frac{1}{m}-1+m=m-lnm-1$
只需m-lnm-1≤0即可，令g（x）=x-lnx-1，
則${g^'}（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，x∈（0，+∞）
得函數(shù)g（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．
∴g（x）_min=g（1）=0，g（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立，
也就是m-lnm-1≥0對m∈（0，+∞）恒成立，
∴m-lnm-1=0，解得m=1．

點評 本題考查函數(shù)求導，分類討論，構造新函數(shù)，將不等式轉化為最值問題．