Question

設(shè)S_n=

C

0 n

-

C

1 n-1

+

C

2 n-2

-…+

(-1)mC

m n-m

，m，n∈N^*且m＜n，其中當(dāng)n為偶數(shù)時，m=

n

2

；當(dāng)n為奇數(shù)時，m=

n-1

2

．
（1）證明：當(dāng)n∈N^*，n≥2時，S_n+1=S_n-S_n-1；
（2）記S=

1

2014

C

0 2014

-

1

2013

C

1 2013

+

1

2012

C

2 2012

-

1

2011

C

3 2011

+…-

1

1007

C

1007 1007

，求S的值．

Answer 1

考點：排列、組合的實際應(yīng)用

專題：排列組合

分析：（1）要證明S_n+1=S_n-S_n-1，分別求出S_n+1，S_n，S_n-1，問題得以解決．

（2）由2014S=S₂₀₁₄-S₂₀₁₂，又由，S_n+1=S_n-S_n-1得S_n+6=S_n，求出答案．

解答： 解：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時，n+1為偶數(shù)，n-1為偶數(shù)，
∵Sn+1

=C

0 n+1

-C

1 n+1

+…+(-1)

n+1

2

C	n+1 2 n+1 2

，
S_n=

C

0 n+1

-C

1 n-1

+…+(-1)

n-1

2

C	n-1 2 n+1 2

，

S_n-1=

C

0 n+1

-C

1 n-1

+…+(-1)

n-1

2

C	n-1 2 n-1 2

，
S_n+1-S_n=-（

C

0 n+1

-C

1 n-1

+…+(-1)

n-1

2

C	n-1 2 n-1 2

）=-S_n-1
當(dāng)n為奇數(shù)時，S_n+1=S_n-S_n-1成立．                        
同理可證，當(dāng)n偶數(shù)時，S_n+1=S_n-S_n-1也成立．  
（2）由S=

1

2014

C

0 2014

-

1

2013

C

1 2013

+

1

2012

C

2 2012

-

1

2011

C

3 2011

+…-

1

1007

C

1007 1007

，得
2014S=

C

0 2014

-

2014

2013

C

1 2013

+

1014

2012

C

2 2012

-

2014

2011

C

3 2011

+…-

2014

1007

C

1007 1007

，
=

C

0 2014

-（

C

1 2013

+

1

2013

C

1 2013

）+（

C

2 2012

+

2 2012 C

2 2012

）-（

C

3 2011

+

3

2011

C

3 2011

）+…-（

C

1007 1007

+

1007

1007

C

1007 1007

），
=（

C

0 2014

-

C

1 2013

+

C

2 2012

+…-

C

1007 1007

）-（

C

0 2012

-C

1 2011

+C

2 2010

-…

+C

1006 1006

)
=S₂₀₁₄-S₂₀₁₂，
又由，S_n+1=S_n-S_n-1得S_n+6=S_n．
∴S₂₀₁₄-S₂₀₁₂=S₄-S₂=-1，
∴S=-

1

2014

．

點評：本題要培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．