Question

已知雙曲線C的兩個焦點坐標分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），雙曲線C上一點P到F₁，F(xiàn)₂距離差的絕對值等于2．
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）經(jīng)過點M（2，1）作直線l交雙曲線C的右支于A，B兩點，且M為AB的中點，求直線l的方程．
（3）已知定點G（1，2），點D是雙曲線C右支上的動點，求|DF₁|+|DG|的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出雙曲線C的實半軸長為a=1，焦半距為c=2，焦點在x軸上，由此能求出雙曲線C的標準方程．
（2）設(shè)A、B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），利用點差法能求出AB所在直線l的方程．
（3）由已知，得|DF₁|-|DF₂|=2，即|DF₁|=|DF₂|+2，當且僅當G，D，F(xiàn)₂三點共線時，|DF₁|+|DG|的最小值．由此能求出這個最小值．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）依題意，得雙曲線C的實半軸長為a=1，焦半距為c=2，（2分）
∴其虛半軸長b=

c2-a2

=

3

，（3分）
又其焦點在x軸上，
∴雙曲線C的標準方程為x2-

y2

3

=1．（4分）
（2）設(shè)A、B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
則

3 x 2 1 - y 2 1 =3 3 x 2 2 - y 2 2 =3

（5分）
兩式相減，得3（x₁-x₂）（x₁+x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，（6分）
∵M（2，1）為AB的中點，
∴

x1+x2=4 y1+y2=2

，（7分）
∴12（x₁-x₂）-2（y₁-y₂）=0，
∴kAB=

y1-y2

x1-x2

=6．（8分）
∴AB所在直線l的方程為y-1=6（x-2），即6x-y-11=0．（9分）
（3）由已知，得|DF₁|-|DF₂|=2，即|DF₁|=|DF₂|+2，（10分）
∴|DF₁|+|DG|=|DF₂|+|DG|+2≥|GF₂|+2，
當且僅當G，D，F(xiàn)₂三點共線時取等號．（11分）
∵|GF2|=

(1-2)2+22

=

5

，（12分）
∴|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2=

5

+2，（13分）
∴|DF₁|+|DG|的最小值為

5

+2．（14分）

點評：本題考查雙曲線方程的求法，考查直線方程的求法，考查兩線段和的最小值的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．