某政府準(zhǔn)備建造一個(gè)橢圓游泳池(a>b),橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最大距離是最小距離的4倍.
(1)求此游泳池所在橢圓的離心率;
(2)已知橢圓的焦距為120米,在橢圓的長(zhǎng)軸上的M1、M2處設(shè)計(jì)兩個(gè)噴水頭,使分出的水花形成有相等半徑的圓M1,圓M2,且圓M1與圓M2外切,同時(shí)噴出的水不能落到橢圓形游泳池之外,試求兩圓的最大半徑.
考點(diǎn):圓方程的綜合應(yīng)用
專題:應(yīng)用題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)根據(jù)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最大距離是最小距離的4倍,可以得到a,c的關(guān)系,即可求此游泳池所在橢圓的離心率;
(2)以⊙M1與⊙M2的切點(diǎn)為原點(diǎn),M1、M2所在的線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.依題意可知圓的方程,設(shè)出圓M2的方程,聯(lián)立消去y,根據(jù)位置與橢圓相切可知判別式等于0求得r,
解答: 解:(1)最大距離為a+c,最小距離為a-c
∴a+c=4(a-c),
∴3a=5c,
∴e=
3
5

(2)由題知:c=12百米∴a=20百米  b=16百米
∴橢圓方程為
x2
400
+
y2
256
=1
以⊙M1與⊙M2切點(diǎn)為原點(diǎn),以M1、M2所在直線為X軸建立平面直角坐標(biāo)系
設(shè)⊙M2方程為(x-r)2+y2=r2
聯(lián)立得
(x-r)2+y2=r2
x2
400
+
y2
256
=1
,
∴9x2-100xr+6400=0
∵⊙M2內(nèi)切與橢圓內(nèi) 
∴△=(-100r)2-4×9×6400=0,
∴r=4.8百米
∴點(diǎn)M1在長(zhǎng)軸中點(diǎn)左4.8百米處,點(diǎn)M2在長(zhǎng)軸中點(diǎn)右4.8百米處,且⊙M1、⊙M2半徑均為4.8百米
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了橢圓的應(yīng)用,考查橢圓的性質(zhì),考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想和解決實(shí)際問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

函數(shù)f(x)=
2
sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則ω,φ的值分別是( 。
A、2,-
π
3
B、2,-
π
6
C、4,-
π
6
D、4,
π
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

直線l經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(-1,-1),則直線l的傾斜角是( 。
A、
π
4
B、
4
C、
π
4
4
D、-
π
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

甲乙兩個(gè)同學(xué)進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲,已知他們每一次投籃投中的概率均為
2
3
,且各次投籃的結(jié)果互不影響.甲同學(xué)決定投5次,乙同學(xué)決定投中1次就停止,否則就繼續(xù)投下去,但投籃次數(shù)不超過(guò)5次.
(1)求甲同學(xué)至少有4次投中的概率;
(2)求乙同學(xué)投籃次數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知方程2log0.5(x-2k)-log0.5(x2-4)=0沒(méi)有實(shí)數(shù)解,求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)橢圓Γ1的中心和拋物線Γ2的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O,Γ1、Γ2的焦點(diǎn)均在x軸上,過(guò)Γ2的焦點(diǎn)F作直線l,與Γ2交于A、B兩點(diǎn),在Γ1、Γ2上各取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄于下表中:
x3-24
3
y-2
3
0-4-
3
2
(1)求Γ1,Γ2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若l與Γ1交于C、D兩點(diǎn),F(xiàn)0為Γ1的左焦點(diǎn),求
SF0AB
SF0CD
的最小值;
(3)點(diǎn)P、Q是Γ1上的兩點(diǎn),且OP⊥OQ,求證:
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
為定值;反之,當(dāng)
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
為此定值時(shí),OP⊥OQ是否成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定點(diǎn)A(4,0),圓C:x2+y2=4上有一動(dòng)點(diǎn)P,設(shè)M為線段AP上一點(diǎn),且滿足
AM
=2
MP
,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)Sn=
C
0
n
-
C
1
n-1
+
C
2
n-2
-…+
(-1)mC
m
n-m
,m,n∈N*且m<n,其中當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),m=
n
2
;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),m=
n-1
2

(1)證明:當(dāng)n∈N*,n≥2時(shí),Sn+1=Sn-Sn-1;
(2)記S=
1
2014
C
0
2014
-
1
2013
C
1
2013
+
1
2012
C
2
2012
-
1
2011
C
3
2011
+…-
1
1007
C
1007
1007
,求S的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知偶函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≥
π
2
,x∈R)的最大值是3,其相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為
π
2

(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)求函數(shù)y=f(x)+
3
sin2x的最大值,并求出相應(yīng)的x值.

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