Question

8．已知橢圓的焦距為6，在x軸上的一個焦點(diǎn)F與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線$y=\frac{1}{2}x+1$與橢圓相交于A．B．求△ABF的面積．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質(zhì)可知：c=b=3．則a²=b²+c²=18，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及弦長公式即可求得丨AB丨，分別求得當(dāng)F（-3，0）及F（3，0），利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得△ABF的面積．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，a＞b＞0，
∵在x軸上的一個焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6，如圖所示，
∴△A₁FA₂為一等腰直角三角形，OF為斜邊A₁A₂的中線（高），且丨OF丨=c，丨A₁A₂丨=2b，
∴c=b=3．則a²=b²+c²=18．
∴橢圓的方程為 $\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，整理得：3x²+4x-32=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4}{3}$，x₁x₂=-$\frac{32}{3}$，
則丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{10\sqrt{5}}{3}$，
當(dāng)F（-3，0），則F到直線AB的距離d=$\frac{丨2×0+3-2丨}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴△ABF的面積S=$\frac{1}{2}$×丨AB丨×d=$\frac{1}{2}$×$\frac{10\sqrt{5}}{3}$×$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{5}{3}$，
當(dāng)F（3，0），則F到直線AB的距離d=$\frac{丨2×0-3-2丨}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
∴△ABF的面積S=$\frac{1}{2}$×丨AB丨×d=$\frac{1}{2}$×$\frac{10\sqrt{5}}{3}$×$\sqrt{5}$=$\frac{25}{3}$，
△ABF的面積$\frac{5}{3}$或$\frac{25}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長公式，點(diǎn)到直線的距離公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．