Question

19．定義在N^*上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且f（n+1）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}f（n），n為偶數(shù)}\\{f（n），n為奇數(shù)}\end{array}\right.$，則f（22）=（　�。�

• A． $\frac{1}{1024}$
• B． $\frac{1}{512}$
• C． $\frac{1}{2048}$
• D． 1

Answer 1

分析 由已知中定義在N^*上的函數(shù)f（x），滿足f（1）=1且f（n+1）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}f（n），n為偶數(shù)}\\{f（n），n為奇數(shù)}\end{array}\right.$，可以求出分段函數(shù)f（x）的解析式，將22代入即可得到f（22）的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且f（n+1）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}f（n），n為偶數(shù)}\\{f（n），n為奇數(shù)}\end{array}\right.$，
f（2）=$\frac{1}{2}$，f（3）=$\frac{1}{2}$，f（4）=$\frac{1}{4}$，f（5）=$\frac{1}{4}$，…，奇數(shù)項成等比數(shù)列，首項為1，公比為$\frac{1}{2}$，
偶數(shù)項是等比數(shù)列，首項為：$\frac{1}{2}$，公比$\frac{1}{2}$，
則f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{2}^{-\frac{n-1}{2}}，n為奇數(shù)\\{2}^{-（\frac{n}{2}-1）}，n為偶數(shù)\end{array}\right.$，
∴f（22）=${2}^{-（\frac{22}{2}-1）}$=2^-10=$\frac{1}{1024}$．
故選：A．

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的解析式求法，及數(shù)列的遞推公式，其中根據(jù)已知條件利用數(shù)列遞推思想，得到分段函數(shù)f（x）的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．