Question

如圖，在四棱錐M-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC-2，AB=4，MA=2，MA⊥平面ABCD．
（1）求證：BC⊥平面MAC；
（2）若點E滿足MC=2EC，求DE與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）過點C作CF⊥AB于點F，則四邊形ADCF為矩形，AF=DC=BF=CF=2，BC=2

2

，從而AD=CF=2，AC=2

2

，進(jìn)而BC⊥AC，由此能證明BC⊥平面MAC．
（Ⅱ）過點E作EG⊥AC于G，連接DG，則∠EDG為DE與平面ABCD所成角，由此能求出DE與平面ABCD所成角的正切值．

解答： （Ⅰ）證明：如圖，在直角梯形ABCD中，
過點C作CF⊥AB于點F，
則四邊形ADCF為矩形，所以AF=DC=2．
又AB=4，所以BF=2．在Rt△BFC中，
因為∠ABC=45°，所以CF=BF=2，BC=2

2

，
所以AD=CF=2，則AC=

AD2+CD2

=2

2

，
所以AC²+BC²=AB²，所以BC⊥AC，…（4分）
又MA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以MA⊥BC，
因為MA∩AC=A，所以BC⊥平面MAC．…（6分）
（Ⅱ）解：如圖，在平面MAC中，過點E作EG⊥AC于G，連接DG，
則∠EDG為DE與平面ABCD所成角，…（7分）
因為MC=4EC，MA=2，AC=2

2

，所以EG=

1

2

，CG=

2

2

，
在△CDG中，∠DCG=45°，DC=2，CG=

2

2

，
由余弦定理，得DG=

4+ 1 2 -2×2× 2 2 cos45°

=

10

2

，…（10分）
在Rt△EDG中，tan∠EDG=

EG

DG

=

1 2

10 2

=

10

10

，
故DE與平面ABCD所成角的正切值為

10

10

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．