Question

2．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，且點（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓E上．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)動直線l：y=kx+m（k，m∈R）與橢圓E只有一個公共點P．
（1）用實數(shù)k，m表示點P的坐標；
（2）若動直線l與直線x=4相交于點Q，問：在x軸上是否存在定點M，使得MP⊥MQ？若存在，求出定點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}$=1，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（II）（1）直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由動直線l：y=kx+m（k，m∈R）與橢圓E只有一個公共點P．可得△=0，化為：m²=3+4k²．即可得出P點坐標．
（2）動直線l與直線x=4相交于點Q（4，4k+m），假設(shè)在x軸上存在定點M（t，0），使得MP⊥MQ．
當k=0時，直線l的方程為：y=m=$±\sqrt{3}$，以（2，$±\sqrt{3}$）為圓心，2為半徑的圓的方程為：（x-2）²+$（y±\sqrt{3}）^{2}$=4，令y=0，解得x=1，或3，因此若在x軸上存在定點M（t，0），使得MP⊥MQ，則M（1，0）或（3，0）．當t=1或3時，代入$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=-24≠0，即可得出結(jié)論．

解答 解：（I）由題意可得：$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}$=1，a²=b²+c²，聯(lián)立解得a=2，c=1，b²=3．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（II）（1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，（*）
∵動直線l：y=kx+m（k，m∈R）與橢圓E只有一個公共點P．
∴△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=0，
化為：m²=3+4k²．
解得x_P=-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{-4k}{m}$，y_P=k×$（-\frac{4k}{m}）$+m=$\frac{3}{m}$．
∴P$（\frac{-4k}{m}，\frac{3}{m}）$．
（2）動直線l與直線x=4相交于點Q（4，4k+m），
假設(shè)在x軸上存在定點M（t，0），使得MP⊥MQ．
當k=0時，直線l的方程為：y=m=$±\sqrt{3}$，
以（2，$±\sqrt{3}$）為圓心，2為半徑的圓的方程為：（x-2）²+$（y±\sqrt{3}）^{2}$=4，
令y=0，解得x=1，或3，
因此若在x軸上存在定點M（t，0），使得MP⊥MQ，則M（1，0）或（3，0）．
當t=1時，代入$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=（-$\frac{4k}{m}$-t）（4-t）+$\frac{3}{m}×（4k+m）$=0，
當t=3時，代入$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=（-$\frac{4k}{m}$-t）（4-t）+$\frac{3}{m}×（4k+m）$=$\frac{8k}{m}$≠0，
因此在x軸上存在定點M（1，0），使得MP⊥MQ．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、圓的標準方程及其性質(zhì)、向量垂直與數(shù)數(shù)量積的關(guān)系、分類討論方法、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．