Question

2．已知a、b、c＞1，且a+b+c=9．證明：$\sqrt{ab+bc+ca}$≤$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$．

Answer 1

分析 設a=$\frac{9{x}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$，b=$\frac{9{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$，c=$\frac{9{z}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$，x+y+z=1，則原不等式即為x²+y²+z²≥9（x²y²+y²z²+z²x²），不妨設x≥y≥z，則$\frac{1}{3\sqrt{3}}$≤z≤$\frac{1}{3}$，令f（x，y，z）=x²+y²+z²-9（x²y²+y²z²+z²x²），證明大于等于0，運用分析法，即可得證．

解答 證明：設a=$\frac{9{x}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$，b=$\frac{9{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$，c=$\frac{9{z}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$，x+y+z=1，
則原不等式即為x²+y²+z²≥9（x²y²+y²z²+z²x²），
由a≥1，9x²=a（x²+y²+z²）≥x²+y²+z²≥$\frac{（x+y+z）^{2}}{3}$=$\frac{1}{3}$，
即有x≥$\frac{1}{3\sqrt{3}}$，同理y≥$\frac{1}{3\sqrt{3}}$，z≥$\frac{1}{3\sqrt{3}}$，
不妨設x≥y≥z，則$\frac{1}{3\sqrt{3}}$≤z≤$\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{3}$≤$\frac{x+y}{2}$=$\frac{1-z}{2}$≤$\frac{3\sqrt{3}-1}{6\sqrt{3}}$，
令f（x，y，z）=x²+y²+z²-9（x²y²+y²z²+z²x²），
則f（x，y，z）-f（$\frac{x+y}{2}$，$\frac{x+y}{2}$，z）=$\frac{（x-y）^{2}}{2}$[1-9z²+$\frac{9}{8}$（x+y）²+$\frac{9}{2}$xy]≥0，
只需證t∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{3\sqrt{3}-1}{6\sqrt{3}}$]，f（t，t，1-2t）≥0．
而f（t，t，1-2t）=2t²+（1-2t）²-9[t4+2t²（1-2t）²]
=（3t-1）²（1+2t-9t²）≥0?$\frac{1-\sqrt{10}}{9}$≤t≤$\frac{1+\sqrt{10}}{9}$．
故只需驗證$\frac{3\sqrt{3}-1}{6\sqrt{3}}$＜$\frac{1+\sqrt{10}}{9}$．顯然成立．
則原不等式成立．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用換元法和柯西不等式，以及構造函數(shù)法，不等式的性質，考查推理和運算能力，屬于難題．