Question

15．設△ABC的三內角、B、C對邊分別是a、b、c，若bcosC+$\sqrt{3}$bsinC=a+c．
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理把等式中的邊轉化為角的正弦，利用兩角和公式整理求得sin（B-$\frac{π}{6}$）的值，進而求得B．
（Ⅱ）利用余弦定理可求得bc的最大值，進而利用三角形面積公式確定最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵bcosC+$\sqrt{3}$bsinC=a+c，
∴sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC=sinA+sinC，
∴sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC，整理得$\sqrt{3}$sinB-cosB=1，
即sin（B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴-$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{5π}{6}$，于是B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
B=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由余弦定理得2²=a²+c²-2accos60°≥2ac-ac=ac，
∴ac≤4，
從而S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac≤$\sqrt{3}$，當且僅當a=c時，等號成立．
∴當a=b=c時，三角形面積最大，最大值為$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運用，一般是借助這兩個公式完成三角形邊角問題的轉化．