Question

16．已知過拋物線y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)A（4，y₀）到焦點(diǎn)F的距離為5．
（1）求p、y₀的值；
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，0）（m為常數(shù)），是否存在過M的直線（與x軸不垂直）與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，AB的垂直平分線與拋物線和x軸分別交于P、B兩點(diǎn)，AB的垂直平分線與拋物線和x軸分別交于P、Q（P、Q位于直線兩側(cè)），使四邊形APBQ為一內(nèi)角是$\frac{π}{3}$的菱形，若存在，求直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線的準(zhǔn)線，由拋物線的定義，可得p=2，將A代入拋物線方程，可得y₀的值；
（2）設(shè)出直線AB的方程，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得AB的中點(diǎn)，即為PQ的中點(diǎn)，設(shè)出PQ的方程，求得P，Q的坐標(biāo)，由四邊形APBQ為一內(nèi)角是$\frac{π}{3}$的菱形，可得|AB|=$\sqrt{3}$|PQ|，解方程可得m=2，即可判斷是否存在．

解答 解：（1）拋物線y²=2px的準(zhǔn)線為x=-$\frac{p}{2}$，
即有拋物線定義可得，|AF|=4+$\frac{P}{2}$=5，
解得p=2，
拋物線方程為y²=4x，
即有y₀²=16，可得y₀=±4；
（2）設(shè)直線AB：y=k（x-m），
代入拋物線方程y²=4x，
可得k²x²-（2mk²+4）x+k²m²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=2m+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=m²．
即有AB的中點(diǎn)C（m+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（m+2-\frac{2}{{k}^{2}}）^{2}-4{m}^{2}}$，
由題意可得直線PQ：y-$\frac{2}{k}$=-$\frac{1}{k}$（x-m-$\frac{2}{{k}^{2}}$），
令y=0可得x=m+2+$\frac{2}{{k}^{2}}$，
即有Q（m+2+$\frac{2}{{k}^{2}}$，0），
由C為PQ的中點(diǎn)，可得P（m+$\frac{2}{{k}^{2}}$-2，$\frac{4}{k}$），
代入拋物線方程可得k²=$\frac{2}{m-2}$，①
即有P（$\frac{4}{{k}^{2}}$，$\frac{4}{k}$），
|PQ|=$\sqrt{{4}^{2}+\frac{16}{{k}^{2}}}$，
由四邊形APBQ為一內(nèi)角是$\frac{π}{3}$的菱形，可得
|AB|=$\sqrt{3}$|PQ|，
即有$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{16-4{m}^{2}}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{16+8m-16}$，②
解得m=2（負(fù)值舍），k不存在．
故不存在這樣的直線AB，使四邊形APBQ為一內(nèi)角是$\frac{π}{3}$的菱形．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義和方程、性質(zhì)的運(yùn)用，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．