Question

4．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{a}$•a_n²（a＞0），求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 通過對等式a_n+1=$\frac{1}{a}$•a_n²（a＞0）兩邊同時取對數(shù)可知log_aa_n+1=2log_aa_n-1，進(jìn)而-1+log_aa_n+1=2（-1+log_aa_n），從而數(shù)列{-1+log_aa_n}是以-1為首項、2為公比的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{1}{a}$•a_n²（a＞0），
∴l(xiāng)og_aa_n+1=log_a（$\frac{1}{a}$•a_n²）=log_a$\frac{1}{a}$+log_a${{a}_{n}}^{2}$=2log_aa_n-1，
∴-1+log_aa_n+1=log_a（$\frac{1}{a}$•a_n²）=log_a$\frac{1}{a}$+log_a${{a}_{n}}^{2}$=2（-1+log_aa_n），
又∵-1+log_aa₁=-1+log_a1=-1，
∴數(shù)列{-1+log_aa_n}是以-1為首項、2為公比的等比數(shù)列，
∴-1+log_aa_n=-2^n-1，
∴l(xiāng)og_aa_n=1-2^n-1，
∴a_n=${a}^{1-{2}^{n-1}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項，注意解題方法的積累，屬于中檔題．