Question

13．某學(xué)校為了解學(xué)校食堂的服務(wù)情況，隨機(jī)調(diào)查了50名就餐的教師和學(xué)生．根據(jù)這50名師生對(duì)餐廳服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)分，繪制出了頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組為[40，50），[50，60），…，[90，100]．
（1）求頻率分布直方圖中a的值；
（2）從評(píng)分在[40，60）的師生中，隨機(jī)抽取2人，求此人中恰好有1人評(píng)分在[40，50）上的概率；
（3）學(xué)校規(guī)定：師生對(duì)食堂服務(wù)質(zhì)量的評(píng)分不得低于75分，否則將進(jìn)行內(nèi)部整頓，試用組中數(shù)據(jù)估計(jì)該校師生對(duì)食堂服務(wù)質(zhì)量評(píng)分的平均分，并據(jù)此回答食堂是否需要進(jìn)行內(nèi)部整頓．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為1，能求出a的值．
（2）設(shè)被抽取的2人中恰好有一人評(píng)分在[40，50）上為事件A．樣本中評(píng)分在[40，50）的師生人數(shù)為2，記為1，2號(hào)樣本中評(píng)分在[50，60）的師生人數(shù)為3，記為3，4，5號(hào)，由此利用列舉法能求出從5人中任意取2人，2人中恰好有1人評(píng)分在[40，50）上的概率．
（3）求出服務(wù)質(zhì)量評(píng)分的平均分為76.2＞75，從而得到食堂不需要內(nèi)部整頓．

解答 解：（1）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，
解得a=0.006．…（4分）
（2）設(shè)被抽取的2人中恰好有一人評(píng)分在[40，50）上為事件A．…（5分）
因?yàn)闃颖局性u(píng)分在[40，50）的師生人數(shù)為：m₁=0.004×10×50=2，記為1，2號(hào)
樣本中評(píng)分在[50，60）的師生人數(shù)為：m₂=0.006×10×50=3，記為3，4，5號(hào)…（7分）
所以從5人中任意取2人共有：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），
（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10種等可能情況，
2人中恰有1人評(píng)分在[40，50）上有：
（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5）共6種等可能情況．
∴2人中恰好有1人評(píng)分在[40，50）上的概率為P（A）=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．…（10分）
（3）服務(wù)質(zhì)量評(píng)分的平均分為：
$\overline{x}$=45×0.004×10+55×0.006×10+65×0.022×10+75×0.028×10+85×0.022×10+95×0.018×10=76.2．…（13分）
∵76.2＞75，∴食堂不需要內(nèi)部整頓．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查平均數(shù)、概率的求法，考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．