Question

2．已知定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿足f′（x）＜f（x），f（2）=-2，f（1+x）=-f（1-x），則不等式f（x）＜2e^x的解集為（　�。�

• A． （-2，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 由f（2）=-2，f（1+x）=-f（1-x），取x=1代入，可得f（0）=2．令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，可得g′（x）＜0，利用其單調(diào)性即可解出．

解答 解：∵f（2）=-2，f（1+x）=-f（1-x），
∴f（2）=-f（0）=-2，解得f（0）=2．
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）{e}^{x}-f（x）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{{f}^{′}（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f′（x）＜f（x），
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在R上單調(diào)遞減，
∵$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜2=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，
∴x＞0，
∴不等式f（x）＜2e^x的解集為（0，+∞），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．