Question

10．如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD，PA⊥底面ABCD，過BC的平面交PD于M，交PA于N（M與D不重合）．
（1）求證：MN∥BC；
（2）如果BM⊥AC，求此時$\frac{PM}{PD}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可證明MN∥BC；
（2）根據(jù)線面垂直的判定定理證明BCDK是平行四邊形，即可證明M是PD的中點即可得到結(jié)論．

解答 證明：（Ⅰ）∵BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BC∥平面PAD，
∵平面PAD∩平面BCMN=MN，
∴BC∥MN，即MN∥BC；       …（4分）
（2）過M作MK∥PA交AD于K，則K為AD中點，連結(jié)BK．
因為PA⊥底面ABCD，
所以MK⊥底面ABCD．
所以MK⊥AC．
又因為BM⊥AC，BM∩MK=M，
所以AC⊥平面BMK，
所以AC⊥BK．
由K為AD中點，BC∥AD，BC=$\frac{1}{2}$AD，可得DC∥BK，
可得AC⊥CD，
所以在平面ABCD中可得BCDK是平行四邊形．
所以BC=DK=AK，
因為K是AD中點，
所以M為PD中點．
所以$\frac{PM}{PD}=\frac{1}{2}$．                                         …（13分）

點評 本題主要考查線面垂直和線面平行的判定和性質(zhì)，綜合考查空間直線和平面的位置關(guān)系的判定，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理，考查學(xué)生的運算和推理能力，屬于基本知識的考查．