Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²-5|x-a|+2a
（Ⅰ）若0＜a＜3，x∈[a，3]，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a≥0，且存在實數(shù)x₁，x₂滿足（x₁-a）（x₂-a）≤0，f（x₁）=f（x₂）=k．設(shè)|x₁-x₂|的最大值為h（k），求h（k）的取值范圍（用a表示）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$f（x）={x^2}-5|x-a|+2a=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-5x+7a，（x≥a）}\\{{x^2}+5x-3a，（x≤a）}\end{array}}\right.$，結(jié)合0＜a＜3，x∈[a，3]，對a的取值進行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）不妨設(shè)x₁≤a≤x₂，對a的取值進行分類討論，分別構(gòu)造出|x₁-x₂|的最大值為h（k）的表達式，分析其單調(diào)性后，可得h（k）的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）={x^2}-5|x-a|+2a=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-5x+7a，（x≥a）}\\{{x^2}+5x-3a，（x≤a）}\end{array}}\right.$
因為x∈[a，3]，f（x）=x²-5x+7a
若$0＜a＜\frac{5}{2}$，則f（x）在$[a，\frac{5}{2}]$上為減函數(shù)，在$[\frac{5}{2}，3]$上為增函數(shù)；
若$a≥\frac{5}{2}$，則f（x）=x²+5x-3a在x∈[a，3]上為增函數(shù)
（Ⅱ）因為x₁，x₂滿足（x₁-a）（x₂-a）≤0，不妨設(shè)x₁≤a≤x₂
①當(dāng)$a≥\frac{5}{2}$時，k≥f（a）=a²+2a，
${x_1}=\frac{{-5-\sqrt{25+4k+12a}}}{2}，{x_2}=\frac{{5+\sqrt{25+4k-28a}}}{2}$
$\begin{array}{l}∴|{x_1}-{x_2}{|_{max}}={x_2}-{x_1}=\frac{{5+\sqrt{25+4k-28a}}}{2}-\frac{{-5-\sqrt{25+4k+12a}}}{2}\\=5+\frac{1}{2}[\sqrt{25+4k-28a}+\sqrt{25+4k+12a}]=h（k）\end{array}$
因為h（k）關(guān)于k為增函數(shù)，
所以$h（k）≥5+\frac{1}{2}[|2a+5|+|2a-5|]=5+2a$
②當(dāng)$0≤a＜\frac{5}{2}$時，$k≥f（a）=7a-\frac{25}{4}$，
${x_1}=\frac{{-5-\sqrt{25+4k+12a}}}{2}，{x_2}=\frac{{5+\sqrt{25+4k-28a}}}{2}$
$\begin{array}{l}∴|{x_1}-{x_2}{|_{max}}={x_2}-{x_1}=\frac{{5+\sqrt{25+4k-28a}}}{2}-\frac{{-5-\sqrt{25+4k+12a}}}{2}\\=5+\frac{1}{2}[\sqrt{25+4k-28a}+\sqrt{25+4k+12a}]=h（k）\end{array}$
因為h（k）關(guān)于k為增函數(shù)，所以$h（k）≥5+\sqrt{10a}$
綜上：$h（k）=\left\{\begin{array}{l}5+\frac{1}{2}[\sqrt{25+4k-28a}+\sqrt{25+4k+12a}]，k≥{a^2}+2a，a≥\frac{5}{2}\\ 5+\frac{1}{2}[\sqrt{25+4k-28a}+\sqrt{25+4k+12a}]，k≥7a-\frac{25}{4}，0≤a≤\frac{5}{2}\end{array}\right.$
所以當(dāng)$0≤a≤\frac{5}{2}$時，$h（k）∈\sqrt{10a}+5$，
當(dāng)$a≥\frac{5}{2}$時，h（k）≥2a+5．

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是分類函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．