Question

7．下列各函數(shù)在其定義域中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（　�。�

• A． y=x+1
• B． y=-x³
• C． y=-$\frac{1}{x}$
• D． y=x|x|

Answer 1

分析 根據(jù)奇函數(shù)圖象的特點，減函數(shù)的定義，反比例函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，奇函數(shù)的定義，二次函數(shù)的單調(diào)性便可判斷每個選項的正誤，從而找到正確選項．

解答 解：A．根據(jù)y=x+1的圖象知該函數(shù)不是奇函數(shù)，∴該選項錯誤；
B．x增大時，-x³減小，即y減小，∴y=-x³為減函數(shù)，∴該選項錯誤；
C.$y=-\frac{1}{x}$在定義域上沒有單調(diào)性，∴該選項錯誤；
D．y=x|x|為奇函數(shù)，$y=x|x|=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}}&{x≥0}\\{-{x}^{2}}&{x＜0}\end{array}\right.$；
y=x²在[0，+∞）上單調(diào)遞增，y=-x²在（-∞，0）上單調(diào)遞增，且y=x²與y=-x²在x=0處都為0；
∴y=x|x|在定義域R上是增函數(shù)，即該選項正確．
故選：D．

點評 考查奇函數(shù)圖象的對稱性，減函數(shù)的定義，反比例函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，含絕對值函數(shù)的處理方法：去絕對值號，以及二次函數(shù)的單調(diào)性，分段函數(shù)單調(diào)性的判斷．