Question

【題目】已知函數(shù)，且在和處取得極值.

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 存在，且或時(shí)，曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)

【解析】【試題分析】（1）利用兩個(gè)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零列方程組求解出的值.（2）化簡(jiǎn)得出的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，要使函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則需函數(shù)的極大值或極小值為零.由此求得的取值范圍.

【試題解析】

（Ⅰ）

因?yàn)?/span>在和處取得極值，

所以和是的兩個(gè)根，

則，解得

經(jīng)檢驗(yàn)符合已知條件，故.

（Ⅱ）由題意知

另得， 或，

隨著變化情況如下表所示：

由上表可知，

又取足夠大的正數(shù)時(shí)， ，

取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)， ，

因此，為使曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合的單調(diào)性，

得： 或

∴或

即存在，且或時(shí)，曲線與軸有兩個(gè)交點(diǎn).