Question

9．已知拋物線y²=2px（p＞0）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$+2
• B． $\sqrt{5}$+1
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． $\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 求出拋物線與雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入雙曲線方程求出A的坐標(biāo)，將A代入拋物線方程求出雙曲線的三參數(shù)a，b，c的關(guān)系，則雙曲線的漸近線的斜率可求．

解答 解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{p}{2}$，0）；雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0），
∴p=2c，
∵點(diǎn)A 是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且AF⊥x軸，
將x=c代入雙曲線方程得到
A（c，$\frac{^{2}}{a}$），
將A的坐標(biāo)代入拋物線方程得到$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$=2pc，即4a⁴+4a²b²-b⁴=0．
解得$\frac{a}=\sqrt{2+2\sqrt{2}}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}=2+2\sqrt{2}$，解得：$\frac{c}{a}=\sqrt{2}+1$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查由圓錐曲線的方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)、考查雙曲線中三參數(shù)的關(guān)系及由雙曲線方程求雙曲線的離心率，是中檔題．