Question

18．已知函數(shù)f（x）=（$\sqrt{3}$sinx-cosx）（$\sqrt{3}$cosx+sinx），x∈R，
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將y=f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位后得到偶函數(shù)y=g（x）的圖象，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由和差角公式化簡(jiǎn)可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）易得g（x）=2sin（2x+2m-$\frac{π}{3}$），由偶函數(shù)易得m=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，結(jié)合m的范圍可得最小值．

解答 解：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=（$\sqrt{3}$sinx-cosx）（$\sqrt{3}$cosx+sinx）
=3sinxcosx+$\sqrt{3}$sin²x-$\sqrt{3}$cos²x-sinxcosx
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]（k∈Z）；
（2）由 （1）可知，g（x）=2sin[2（x+m）-$\frac{π}{3}$]=2sin（2x+2m-$\frac{π}{3}$），
∵函數(shù)y=g（x）為偶函數(shù)，∴函數(shù)y=g（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱
∴2m-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，解得m=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
又∵m＞0，∴當(dāng)k=0時(shí)m取得最小值$\frac{5π}{12}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及設(shè)計(jì)師的單調(diào)性和對(duì)稱性以及和差角公式的應(yīng)用，屬中檔題．