Question

4．已知面積為$\frac{9\sqrt{3}}{2}$的△ABC中，∠A=$\frac{π}{3}$若點(diǎn)D為BC邊上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足$\overrightarrow{CD}$=$2\overrightarrow{DB}$，則當(dāng)AD取最小時(shí)，BD的長(zhǎng)為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形面積公式，余弦定理，基本不等式，求出滿(mǎn)足條件時(shí)，三角形的三邊長(zhǎng)，可得答案．

解答 解：如圖：△ABC中，∠A=$\frac{π}{3}$，點(diǎn)D為BC邊上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足$\overrightarrow{CD}$=$2\overrightarrow{DB}$，

則BD=$\frac{a}{3}$，CD=$\frac{2a}{3}$，
∵△ABC的面積為$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴bc=18，
由余弦定理得：a²=b²+c²-bc，
cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，
AD²=$\frac{{a}^{2}}{9}+{c}^{2}-2•\frac{a}{3}•c•cosB$
=$\frac{{a}^{2}}{9}+{c}^{2}-\frac{1}{3}（{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}）$
=$\frac{^{2}+{c}^{2}-bc}{9}+{c}^{2}-\frac{1}{3}（^{2}+{c}^{2}-bc+{c}^{2}-^{2}）$
=$\frac{1}{9}{（b}^{2}+4{c}^{2}-2bc）$≥$\frac{1}{9}（2\sqrt{^{2}•4{c}^{2}}-2bc）$=$\frac{2}{9}bc$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)b=2c=6時(shí)，取最小值，
此時(shí)a²=27，
故a=3$\sqrt{3}$，
BD=$\frac{a}{3}$=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的面積公式、余弦定理，難度中檔．