Question

4．曲線$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）上的點到直線$\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=1+t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）的距離的最大值為$\frac{2（\sqrt{5}+\sqrt{10}）}{5}$．

Answer 1

分析 由直線$\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=1+t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：x-2y+2=0．任取曲線上的點P（2cosθ，sinθ）到直線的距離d=$\frac{|2cosθ-2sinθ+2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）-2|}{\sqrt{5}}$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：由直線$\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=1+t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：x-2y+2=0．
∴曲線$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）上點P（2cosθ，sinθ）到直線的距離d=$\frac{|2cosθ-2sinθ+2|}{\sqrt{5}}$
=$\frac{|2\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）-2|}{\sqrt{5}}$≤$\frac{2\sqrt{2}+2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2（\sqrt{5}+\sqrt{10}）}{5}$．當$sin（θ-\frac{π}{4}）$=-1時取等號．
故答案為：$\frac{{2（\sqrt{5}+\sqrt{10}）}}{5}$．

點評 本題考查了曲線的參數(shù)方程化為直角坐標方程、橢圓的參數(shù)方程的應用、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．