Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，D、E、F分別是AB、BB₁、CC₁的中點，AB=BC=AC=BB₁=2．
（1）求證：AC₁∥平面DEF；
（2）求二面角A-DE-F的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)AB₁，由已知得EF∥B₁C₁，DE∥AB₁，從而AB₁∥平面DEF，同理B₁C₁∥平面DEF，由此能證明平面AB₁C₁∥平面DEF，從而AC₁∥平面DEF．
（2）以A為原點，建立空間直角坐標系A-xyz，利用向量法能求出二面角A-DE-F的余弦值．

解答： （1）證明：連結(jié)AB₁，
∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E，F(xiàn)分別為AB、BB₁、CC₁的中點，
∴EF∥B₁C₁，DE∥AB₁，
∵AB₁不包含于平面DEF，DE?平面DEF，
∴AB₁∥平面DEF，同理B₁C₁∥平面DEF，
∵AB₁，B₁C₁?平面AB₁C₁，AB₁∩B₁C₁=B₁，
∴平面AB₁C₁∥平面DEF，
∵AC₁?平面AB₁C₁，∴AC₁∥平面DEF．
（2）解：如圖，以A為原點，建立空間直角坐標系A-xyz，
A（0，0，0），B（

3

，1，0），C（0，2，0），
B1(

3

，1，2)，C₁（0，2，2），
∵D、E、F分別是AB、BB₁、CC₁的中點，
∴D（

3

2

，

1

2

，0），E（

3

，1，1），F(xiàn)（0，2，1），

DE

=（

3

2

，

1

2

，1），

EF

=（-

3

，1，0），
設平面DEF的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • DE = 3 2 x+ 1 2 y+z=0 n • EF =- 3 x+y=0

，
取x=1，得

n

=（1，

3

，-

3

），
又平面ADE的一個法向量為

CD

=(

3

2

，-

3

2

，0)，
設二面角A-DE-F的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

n

，

CD

＞|=

3

7 • 3

=

7

7

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．