【題目】已知函數(shù),,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),證明:,;
(2)若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)
【解析】
(1)先求導(dǎo),再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從而得證;
(2)先求導(dǎo)數(shù),再討論當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)性及極值情況,再求解即可.
(1)當(dāng)時(shí),,則,
當(dāng)時(shí),,則,又因?yàn)?/span>,
所以當(dāng)時(shí),,僅時(shí),,
所以在上是單調(diào)遞減,所以,即.
(2),因?yàn)?/span>,所以,,
①當(dāng)時(shí),恒成立,所以在上單調(diào)遞增,沒(méi)有極值點(diǎn).
②當(dāng)時(shí),,令,
則在上單調(diào)遞減,因?yàn)?/span>,,
當(dāng),即時(shí),,,
所以在上單調(diào)遞增,,,
所以,,即,所以單調(diào)遞減,無(wú)極值點(diǎn);
當(dāng),即時(shí),存在,使,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在處取極大值,
因?yàn)?/span>,所以,又因?yàn)?/span>,,
若存在兩個(gè)極值點(diǎn),即存在兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),則得,得,得,
此時(shí)存在,使得,,
當(dāng),,,,,,即在處取得極小值,在處取得極大值,,為的兩個(gè)極值點(diǎn),則此時(shí).
綜上可知若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知甲盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和3個(gè)黑球,乙盒內(nèi)有大小相同的3個(gè)紅球和3個(gè)黑球,現(xiàn)從甲,乙兩個(gè)盒內(nèi)各取2個(gè)球.
(1)求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率;
(2)設(shè)ξ為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書(shū)中,用如圖所示的三角形,解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律.在歐洲直到1623年以后,法國(guó)數(shù)學(xué)家布萊士帕斯卡的著作(1655年)介紹了這個(gè)三角形,近年來(lái),國(guó)外也逐漸承認(rèn)這項(xiàng)成果屬于中國(guó),所以有些書(shū)上稱(chēng)這是“中國(guó)三角形”,如圖.17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“萊布尼茨三角形”,如圖.在楊輝三角中,相鄰兩行滿足關(guān)系式:,其 中是行數(shù),.請(qǐng)類(lèi)比上式,在萊布尼茨三角形中相鄰兩行滿足的關(guān)系式是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓,是它的上頂點(diǎn),點(diǎn)各不相同且均在橢圓上.
(1)若恰為橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),求的面積;
(2)若,求證:直線過(guò)一定點(diǎn);
(3)若,的外接圓半徑為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象,若的對(duì)稱(chēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn),則關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論:
①的最小正周期為 ②若的最大值為2,則
③在有兩個(gè)零點(diǎn) ④在區(qū)間上單調(diào)
其中所有正確結(jié)論的標(biāo)號(hào)是( )
A.①③④B.①②④C.②④D.①③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)常數(shù))滿足.
(1)求出的值,并就常數(shù)的不同取值討論函數(shù)奇偶性;
(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞減,求的最小值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)取最小值時(shí),證明:恰有一個(gè)零點(diǎn)且存在遞增的正整數(shù)數(shù)列,使得成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,在平面直角坐標(biāo)系中,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),且傾斜角為.
(1)寫(xiě)出曲線的直角坐標(biāo)方程以及點(diǎn)的直角坐標(biāo);
(2)設(shè)直線與曲線相交于,兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線參數(shù)方程為為參數(shù)),將曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的,得到曲線.
(1)求曲線的普通方程;
(2)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于兩點(diǎn),求取得最小值時(shí)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了了解運(yùn)動(dòng)健身減肥的效果,某健身房調(diào)查了20名肥胖者,健身之前他們的體重情況如三維餅圖(1)所示,經(jīng)過(guò)四個(gè)月的健身后,他們的體重情況,如三維餅圖(2)所示.對(duì)比健身前后,關(guān)于這20名肥胖者,下面結(jié)論不正確的是( )
A.他們健身后,體重在區(qū)間內(nèi)的人增加了2個(gè)
B.他們健身后,體重在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)沒(méi)有改變
C.他們健身后,20人的平均體重大約減少了8 kg
D.他們健身后,原來(lái)體重在區(qū)間內(nèi)的肥胖者體重都有減少
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