Question

5．已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，過原點的直線y=-x與拋物線C的交點為A，若P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）為OA的中點，則拋物線C的方程為y²=-x．

Answer 1

分析 先根據(jù)題意設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，與直線方程聯(lián)立消去y，利用韋達(dá)定理求得x_O+x_A的表達(dá)式，根據(jù)OA中點的坐標(biāo)可求得x_O+x_A，繼而p的值可得．

解答 解：設(shè)拋物線方程為y²=2px（p≠0），
直線y=-x與拋物線方程聯(lián)立得x²-2px=0，
∴x_O+x_A=2p，
由中點坐標(biāo)公式可得，x_O+x_A═2×（-$\frac{1}{2}$）=-1，
∴p=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線C的方程為y²=-x，
故答案為：y²=-x．

點評 本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的關(guān)系．考查了考生基礎(chǔ)知識的理解和熟練應(yīng)用．