Question

16．焦點在x軸上的橢圓C，過點P（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），且與直線l：y=x+$\sqrt{3}$交于A、B兩點，若三角形PAB的面積為2，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1a＞b＞0，則$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$=1．把直線方程和橢圓的方程聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達定理、弦長公式求出弦長AB以及點P到直線的距離d，再由△PAB的面積為S=$\frac{1}{2}$AB•d=2，求出a²、b²的值，從而得到所求橢圓的方程．

解答 解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，a＞b＞0，
∵橢圓C過點P，∴$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$=1．
由直線l：y=x+$\sqrt{3}$代入橢圓方程，消去y求得b²x²+4$\sqrt{3}$x+6-2b²=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4\sqrt{3}}{^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{6-2^{2}}{^{2}}$．
可得AB=$\sqrt{2}$|x₂-x₁|=$\frac{\sqrt{2}}{^{2}}$•$\sqrt{8^{4}-24^{2}+48}$．
由于點P（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$）到直線l：y=x+$\sqrt{3}$的距離d=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$，
△PAB的面積為S=$\frac{1}{2}$•AB•d=2，可得 b⁴-9b²+18=0，解得b²=3，或b²=6，
當(dāng)b²=6時，由$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$=1求得a²=3，不滿足題意；
當(dāng)b²=3時，由$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$=1求得a²=6，滿足題意，故所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

點評 本題主要考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，點到直線的距離公式、弦長公式的應(yīng)用，屬于中檔題．