Question

20．已知拋物線x²=4y過焦點(diǎn)的弦被焦點(diǎn)分成長度為m，n的兩部分，則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=1．

Answer 1

分析 由題意可知直線斜率存在，當(dāng)斜率為0時(shí)，直接求解m，n的值得答案；當(dāng)斜率不為0時(shí)，可設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去x，求得y₁+y₂，再根據(jù)拋物線的定義可求得m+n和mn，進(jìn)而可求得$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$．

解答 解：∵拋物線x²=4y的焦點(diǎn)F（0，1），由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)為k，
當(dāng)k=0時(shí)，直線方程為y=1，代入x²=4y，得x=±2．
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$；
當(dāng)k≠0時(shí)，則l的方程為：y=kx+1，
直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去x得：y²-（4k²+2）y+1=0，
設(shè)直線l與拋物線的兩交點(diǎn)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則y₁、y₂為方程y²-（4k²+2）y+1=0的兩根，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=4{k}^{2}+2$，y₁y₂=1．
又由拋物線定義可得：
m+n=y₁+y₂+p=2+4k²+2=4（k²+1），
m•n=（y₁+1）（y₂+1）=y₁•y₂+（y₁+y₂）+1=1+4k²+2+1=4（k²+1）．
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{m+n}{mn}=\frac{4（{k}^{2}+1）}{4（{k}^{2}+1）}$=1．
綜上，$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)及拋物線與直線的關(guān)系，涉及拋物線焦點(diǎn)弦問題時(shí)，常根據(jù)焦點(diǎn)設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，把根與系數(shù)關(guān)系和拋物線定義相結(jié)合解決問題，是中檔題．