Question

20．已知：曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ=acosθ（a＞0），直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)）
（1）求曲線C與直線l的普通方程；
（2）若直線l與曲線C相切，求a值．

Answer 1

分析 （1）直接把圓的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，把直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程．
（2）首先把圓的一般式轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)式，進(jìn)一步利用圓心到直線的距離等于半徑求出結(jié)果．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ=acosθ（a＞0），
轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：x²+y²-ax=0，
直線直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），
轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：x-y-1=0．
（2）曲線C的方程：x²+y²-ax=0，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式為：$（x-\frac{a}{2}）^{2}+{y}^{2}=\frac{{a}^{2}}{4}$，
所以：圓心$C（\frac{a}{2}，0）$，半徑$r=\frac{a}{2}$．
由于直線l與圓C相切，
所以：$\frac{{|{\frac{a}{2}-1}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{a}{2}$（a＞0），
解得：$a=2（\sqrt{2}-1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，圓的一般式與標(biāo)準(zhǔn)式的轉(zhuǎn)化，直線與圓相切的充要條件的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力．