Question

12．以平面直角坐標(biāo)系原點O為極點，以x軸非負(fù)半軸為極軸，以平面直角坐標(biāo)系的長度單位為長度單位建立極坐標(biāo)系．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-3t}\\{y=-1+2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=4cosθ
（Ⅰ） 求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ） 設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接把極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）把參數(shù)方程代入拋物線得到關(guān)于t的一元二次方程，進(jìn)一步利用根和系數(shù)的關(guān)系求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=4cosθ，
轉(zhuǎn)化為：（ρsinθ）²=4ρcosθ，
進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為：y²=4x
（Ⅱ）把直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-3t}\\{y=-1+2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）化為：2x+3y=1，
代入y²=4x得y²+6y-2=0；
設(shè)A、B的縱坐標(biāo)分別為y₁、y₂；
則y₁y₂=-2，y₁+y₂-6；
則|y₁-y₂|=$\sqrt{36-4×（-2）}$=2$\sqrt{11}$；
|AB|=$\sqrt{1+（-\frac{3}{2}）^{2}}$×|y₁-y₂|=$\frac{\sqrt{13}}{2}$×2$\sqrt{11}$=$\sqrt{143}$，
所以|AB|=$\sqrt{143}$．

點評 本題考查的知識要點：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力．