Question

8．已知sinα-cosα=$\frac{1}{5}$（0＜α＜$\frac{π}{2}$），則sinα=$\frac{4}{5}$，cos2α=-$\frac{7}{25}$．

Answer 1

分析 把已知等式兩邊平方，利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡求出2sinαcosα的值，再利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡求出sinα+cosα的值，與已知等式聯(lián)立求出sinα的值，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式求出cos2α的值即可．

解答 解：把sinα-cosα=$\frac{1}{5}$①，兩邊平方得：（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=$\frac{1}{25}$，
即2sinαcosα=$\frac{24}{25}$，
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα+cosα＞0，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=$\frac{49}{25}$，即sinα+cosα=$\frac{7}{5}$②，
①+②得：sinα=$\frac{4}{5}$，
則cos2α=1-2sin²α=-$\frac{7}{25}$．
故答案為：$\frac{4}{5}$；-$\frac{7}{25}$

點評 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．