Question

玩具所需成本費用為P元，且P與生產(chǎn)套數(shù)x的關(guān)系為P=1000+5x+

1

10

x2，而每套售出的價格為Q元，其中Q（x）=a+

x

30

（a∈R），
（1）問：該玩具廠生產(chǎn)多少套時，使得每套所需成本費用最少？
（2）若生產(chǎn)出的玩具能全部售出，且當(dāng)產(chǎn)量為150套時利潤最大，求a的值．（利潤=銷售收入-成本）

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由題意，每套“福娃”所需成本費用為

p

x

，建立函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求函數(shù)的最值；
（2）根據(jù)利潤=銷售收入-成本，求出利潤函數(shù)xQ（x）-P，再利用當(dāng)產(chǎn)量為150套時利潤最大，即可求a的值．

解答： 解：（1）由題意，每套“福娃”所需成本費用為

p

x

=

1000+5x+ 1 10 x2

x

=

1

10

x+

1000

x

+5≥2

100

+5=25，
當(dāng)

1

10

x=

1000

x

，即x=100時，每套“福娃”所需成本費用最少為25元．（6分）
（2）利潤為xQ（x）-P=x（a+

x

30

）-（1000+5x+

1

10

x2）=-

1

15

x²+（a-5）x-1000（9分）．
由題意，當(dāng)產(chǎn)量為150套時利潤最大，
∴

a-5

2× 1 15

=150，
解得a=25．

點評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，考查二次函數(shù)的最值，確立函數(shù)模型是關(guān)鍵．